Zins und Gegenwartswert

Der Gegenwartswert oder Barwert zukünftig verfügbaren Geldes folgt aus Marktzinsen. So wie mit Zinseszins angelegte Beträge mit der Zeit anwachsen, sind zukünftig verfügbare Beträge in einer Umkehrung der Zinseszinsrechnung zu rabattieren, um zum Gegenwartswert zu kommen. Diesen Sachverhalt kann man mit einer einfachen ökonomischen Überlegung nachvollziehen.

Angenommen Sie haben heute einen Betrag von 1 zur Verfügung. Ihre Bank bietet Ihnen 5% Zinsen für eine einjährige Festgeldanlage und Sie sind von der Quellensteuer befreit. Wenn Sie dieses Angebot annehmen, dann tauschen Sie 1 gegen das Versprechen der Bank, in einem Jahr 1,05 zurückzuzahlen. Wieviel aber würden Sie einem Bekannten leihen, der Ihnen in einem Jahr 1,05 verspricht? Wenn Sie ihm heute 1,05 geben, beläuft sich Ihr Verlust auf 5 Cents, denn bei der Bank hätten Sie für die gleiche Gegenleistung nur 1 bezahlt. Wenn Sie wegen Ihres Bekannten keinen Nachteil erleiden wollen, dann können Sie ihm nur den Marktwert seines Versprechens auszahlen, nämlich 1. Das Zinsangebot der Bank bestimmt also den Markt- oder Gegenwartswert des Geldes. Die Inflation hingegen beeinflusst nicht den Gegenwartswert, sondern die zukünftige Kaufkraft des Geldes.

Beispiel: wenn die Inflationserwartung fürs kommende Jahr bei 2% liegt und die Zinsen bei 1%, dann hat 1 im nächsten Jahr verfügbar einen Gegenwartswert von 0,99 und eine Kaufkraft von nur 0,98.

Gegenwartswert von 1 bei 1% Zins = 1 / 1,01 = 0,9901
Kaufkraft von 1 bei 2% Inflation = 1 / 1,02 = 0,9804

In der beschriebenen Marktsituation mit 1% Zinsen und 2% Inflation sind Investoren bereit, einen realen Kaufkraftverlust zu akzeptieren. 1 wächst in einem Jahr auf 1,01 an, aber inflationsbereinigt entspricht das einer Kaufkraft von nur 0,99.

Kaufkraft von 1,01 bei 2% Inflation und 1% Zins = 1,01 / 1,02 = 0,9902

Beispiel: je höher die Zinsen, desto niedriger der Gegenwartswert. Bei 1% Zinsen hat 1 verfügbar in einem Jahr einen Gegenwartswert von 0,99. Bei 5% Zinsen sinkt der Gegenwartswert auf etwa 0,95.

Gegenwartswert von 1 bei 5% Zins = 1 / 1,05 = 0,9524

 

2.1 Formeln für Zukunftswert und Gegenwartswert

Der Zukunftswert von Geldbeträgen folgt aus der Zinseszinsformel (1) und der Gegenwartswert (2) aus der Umkehrung der Zinseszinsformel.

R : Jahreszins
m : Wiederanlagefrequenz
τ : Anlagezeitraum
GW : Gegenwartswert
ZW : Zukunftswert
ZW    =  GW    ⋅ (1 + R ∕m )τ⋅m (1)
                -------1-------- GW    =  ZW   ⋅             τ⋅m                 (1 +  R ∕m )  (2)

Beispiel: 1 verfügbar in 5 Jahren hat bei halbjährlicher Wiederanlage (m = 2) und einem Zinssatz von 3% einen Gegenwartswert von 0,86.

GW = 1 / (1 + 3 / 2 / 100)(5 * 2) = 0,86167

Beispiel: Tabelle 1 zeigt den Gegenwartswert und die Kaufkraft von 1 in 5, 10, 20, und 50 Jahren bei 3% Zinsen mit jährlicher Wiederanlage (m = 1) und 2% Inflation.


Jahre Zinssatz Inflation Gegenwartswert Kaufkraft





5 3% 2% 0,8626 0,9057
10 3% 2% 0,7441 0,8203
20 3% 2% 0,5537 0,6730
50 3% 2% 0,2281 0,3715
Tabelle 1: Gegenwartswert und Kaufkraft bei 3% Jahreszins und 2% Inflation.